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El arte de la lógica

El arte de la lógica por Carmen García Trevijano. Ed. Tecnos. Colección Filosofía y ensayo. 2ª edición. 9788430933525

1. No es cierto que sea falso que no llueve ¿Llueve? (la doble negación) (¬ ¬L)

28. Si los que ya son sabios no buscan la sabiduría y los ignorantes tampoco, entonces los que la busquen no serán los sabios ni los ignorantes, sino aquellos que reconocen su propia ignorancia y desean remediarla. (¬S & ¬I) → (¬ (S v I) & R)

124. Si me dices que nunca has sido malo mientes, y si mientes eres malo. Si me dices que eres malo, eres malo, y si eres malo debes ser castigado por haber sido malo. Digas lo que digas, debes ser castigado.
(N→M) & (M→E), (S→E) & (E→C) ├ S v N→ C

125. Si trabajo ganaré dinero, pero si estoy ocioso lo pasaré muy bien. O trabajo o estoy ocioso. Sin embargo, si trabajo no lo pasaré bien, mientras que si estoy ocioso no ganaré dinero. En consecuencia, lo pasaré muy bien si y sólo si no gano dinero.
(T→G) & (O→P), T v O, (T→ ¬P) & (O→ ¬G) ├ P ↔ ¬G

146. Tenemos tres chicas, Ana, Luisa y Diana. Supóngase que se dan los siguientes hechos: 1. Amo al menos a una de las tres chicas; 2. Si amo a Ana pero no a Diana, entonces también amo a Luisa; 3. O bien amo a Diana y a Luisa, o bien no amo a ninguna; 4. Si amo a Diana, entonces amo también a Ana. ¿A cuál de las chicas amo? A v L v D, (A & ¬D) → L, (D & L) v (¬D & ¬L), D → A ├ A & L & D. Por 3, o bien amo a Diana y a Luisa o bien no amo a ninguna.

Supóngase que no amo a ninguna. Entonces, por 1, debo amar a Ana. Así pues, amo a Ana pero no a Diana, y no amo a Luisa. Esto contradice al enunciado 2. Por tanto, no es el caso que no ame ni a Diana ni a Luisa, de donde se sigue que amo a las dos. Puesto que amo a Diana, entonces, por 4, amo también a Ana. Así pues, amo a las tres chicas.

150. En la actualidad, aproximadamente la mitad de los habitantes de Transilvania son humanos, mientras que la otra mitad son vampiros. Los humanos y los vampiros son distinguibles en su apariencia externa, pero allí los humanos dicen siempre la verdad mientras que los vampiros mienten siempre.

Lo que complica enormemente la situación es que además la mitad de los habitantes de Transilvania están totalmente locos y la otra mitad está cuerda. Los locos se caracterizan por creer que lo verdadero es falso y lo falso verdadero. Los cuerdos, en cambio, saben perfectamente qué es lo verdadero y qué es lo falso.

Los habitantes de Transilvania son por tanto de cuatro tipos: 1. Humanos cuerdos (H & C); 2. Humanos locos (H & L); 3. Vampiros cuerdos (V & C); 4. Vampiros locos (V & L). Así, todo lo que un humano cuerdo dice es verdadero. Todo lo que un humano loco dice es falso (puesto que él cree que lo falso es lo verdadero). Todo lo que un vampiro cuerdo dice es falso (puesto que miente sistemáticamente) y todo lo que dice un vampiro loco es verdadero (puesto que él cree que es falso, pero como es vampiro tiene que mentir, y dice por tanto la verdad). De esta infernal combinatoria se sigue que los únicos que dicen la verdad son los humanos cuerdos y los vampiros locos. Me encontré un día con un transilvano que me dijo: “No soy un humano cuerdo” ¬ (H & C). ¿De qué tipo era?

Un vampiro es un no-humano; Un humano loco diría: soy un vampiro cuerdo y un vampiro cuerdo diría “soy un humano loco”. Por lo pronto, un humano cuerdo no pronunciaría jamás una frase que negara que él es humano y cuerdo. Ello descarta de inmediato al tipo a. Supóngase que el que habla es un humano loco.

Puesto que él cree que es un vampiro cuerdo y no miente, tendría que afirmar que es un vampiro. Pero ser vampiro equivale a ser no-humano. Y, bajo el supuesto de que el individuo es humano, resultaría que el hablante es a la vez humano y no humano. Por tanto, hay que rechazar la hipótesis de que se trata de un humano loco. Supongamos ahora que es un vampiro cuerdo.

Un vampiro cuerdo no negaría jamás que él fuese humano, aunque sí negaría que estuviese cuerdo. Pero el supuesto dice que no es humano (puesto que es vampiro) y el individuo afirma que es humano. Con ello vuelve a producirse la situación contradictoria de ser a la vez humano y no-humano que obliga a rechazar la hipótesis de que el hablante sea un vampiro cuerdo. Eliminados así los tres primeros tipos de transilvanos, sólo resta concluir que el único que puede decir “No soy un humano cuerdo” sin incurrir en una contradicción es un vampiro loco.

151. Si reconocemos algunas cosas como iguales y algunas otras como desiguales, entonces debemos conocer qué es la igualdad en sí misma. Pero, si nada en nuestra experiencia sensible se identifica con la igualdad en sí misma, entonces o bien no sabemos qué es la igualdad en sí misma, o bien no adquirimos este conocimiento por experiencia sensible.

Si no adquirimos ese conocimiento por experiencia sensible, entonces hemos nacido dotados de algún conocimiento. Dado que reconocemos algunas cosas como iguales y otras como desiguales, y dado que nada de lo que se presenta a nuestra experiencia sensible se identifica con la igualdad en sí misma, se sigue que hemos nacido dotados de algún conocimiento (Platón,Fedón)

R & D → I, N → ¬ I v ¬ S, ¬ S → C ├ (R & D) & N → C

174. Todo lo que es material y orgánico es real. Toda cosa es o bien no orgánica o es efímera. Toda cosa es o bien no efímera o no real. Por tanto, toda cosa que sea orgánica es efímera y no material. ۸x ((Mx & Ox) → Rx), ۸x ( ¬ Ox v Ex), ۸x ( ¬Ex v ¬ Rx) ├ ۸x (Ox → (Ex & ¬ Mx)

178. La isla de los caballeros y de los escuderos. Existe una isla poblada exclusivamente por “caballeros” y “escuderos”. Lo único que diferencia a los unos de los otros es que los primeros dicen siempre la verdad, mientras que los escuderos mienten siempre. En una ocasión en que tres de los habitantes se encontraban en un jardín, un extranjero que por allí pasaba le preguntó a A: “¿Eres caballero o escudero?”.

A respondió pero tan confusamente que el extranjero no pudo enterarse de lo que decía. Entonces el extranjero preguntó a B: “¿Qué ha dicho A?”. Y B le respondió: “A ha dicho que es escudero”. Pero en ese instante el tercer hombre, C, dijo: “No creas a B, que está mintiendo”. (R. Smullyan). ¿Qué son B y C?. Es imposible que un caballero y un escudero digan: “Yo soy escudero”, porque si fuera un caballero el que hablaba mentiría, y si fuera un escudero diría la verdad. Cosas las dos que no pueden ocurrir. Esto quiere decir que A nunca diría que era un escudero. Así B miente cuando asegura que A ha dicho que es escudero.

Por tanto, B es escudero. Puesto que C dijo que B estaba mintiendo y B ciertamente mentía, C decía la verdad; por tanto, C es caballero. Así pues, B es un escudero y C es un caballero. (Es imposible saber qué es A). Discrepo en la última de la premisas, ya que A es forzosamente caballero ya que B miente y por el principio de la doble negación, A es caballero y había dicho que era caballero a lo que B tradujo falsamente cuando dijo: A ha dicho que es escudero.

193. Ningún ser perfecto es inmoral. Cualquier individuo que no valore la honestidad intelectual es imperfecto. Ningún individuo moral que valore la honestidad intelectual puede condenar el agnosticismo. De lo que se sigue que si Dios es perfecto no puede condenar el agnosticismo. ۸x (Mx → Nx), ۸x (Nx → Px), ۸x (Mx → Cx), ۸x (Cx → Sx) ├ ۸x (Mx → (Sx & Px))

195. Contra el libre albedrío. Si tomamos una decisión que no nos ha sido posible evitar, entonces es una decisión de la cual no somos moralmente responsables. Si tomamos una decisión bajo condiciones tales que, dadas esas condiciones, es causalmente imposible no tomar esa decisión, entonces la decisión no ha podido ser evitada.

Todo suceso ocurre bajo condiciones tales que, dadas esas condiciones, es causalmente imposible que el suceso no ocurra. La toma de una decisión es la ocurrencia de un suceso. Por tanto, no somos moralmente responsables de ninguna de nuestras acciones. El argumento que aquí nos ocupa envuelve ideas de lógica modal como las de posible e imposible, que escapan al ámbito de la lógica elemental.

En la siguiente formalización, debida a Chisholm, se utilizan los predicados modales como si no lo fueran, aunque se recurre al expediente de interpretar como necesidad la imposibilidad de que una cosa no sea. Diccionario: Dx: es una decisión; Px: x puede ser evitada; Rx: x envuelve responsabilidad moral; Nx: x es necesaria; Sx: x es un suceso.

۸x ((Dx & ¬ Px) → ¬ Rx), ۸x ((Dx & Nx) → ¬Px), ۸x (Sx → Nx), ۸x (Dx → Sx) ├ ۸x (Dx → ¬ Rx)

196. Una de las paradojas más conocidas es la relativa al litigio que sostuvo el famoso sofista Protágoras con uno de sus discípulos. Protágoras había aceptado a un estudiante pobre pero con talento, conviniendo con él en no cobrarle por su enseñanza hasta que el estudiante hubiera terminado sus estudios y ganara su primer caso ante los tribunales. Pero tras completar sus estudios el estudiante no se encargó de ningún caso legal.

Transcurrido cierto tiempo Protágoras demandó al estudiante exigiéndole la suma estipulada. He aquí los argumentos de ambos para acudir al tribunal:

Estudiante: Si yo gano el caso, entonces, por definición, no tengo que pagar. Si lo pierdo, entonces no habré ganado mi primer caso, y yo no he contraído la obligación de pagar a Protágoras mientras no haya ganado mi primer caso. Así pues, sea que yo gane o que pierda el caso, no tengo que pagar.

Protágoras: Si él pierde el caso, entonces, por definición, tiene que pagarme (pues eso es lo que se ventila en este juicio). Si lo gana, entonces habrá ganado su primer caso, y por tanto tiene que pagarme. ¿Quién ganó el pleito?. El Tribunal lo tiene bien difícil. Ambos están cargados de razón y las dos argumentaciones son impecables. Sin embargo, en un primer enfrentamiento el Juez tendría que admitir que el estudiante no ha ganado aún ningún juicio, por lo que no debe nada a Protágoras. Y fallaría a su favor eximiéndole de pagar. Pero… todas las sentencias pueden ser impugnadas en un segundo juicio. Y esta vez el estudiante está perdido: ahora ha ganado ya su primer caso y sin embargo no ha pagado a Protágoras. En consecuencia, la última y definitiva sentencia será que el estudiante tiene que pagar a su maestro.

Nadie respeta a una persona que no se respeta a sí misma. Nadie amará a una persona a la que no respete. Por tanto, una persona que no respete a nadie, no será nunca amada por nadie.

۸x ((Px & ¬ Rxx) → ۸y (Py → ¬ Ryx)), ۸y (Py → ۸x ((Px & ¬ Ryx) →
¬ Cyx)) ├ ۸x ((Px & ۸z (Pz →¬ Rxz)) → ۸y (Py → ¬ Cyx)).

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